<大項目> 開発中の原子炉および研究炉等
<中項目> 原子炉の基礎
<小項目> 原子炉の物理
<タイトル>
原子炉物理の基礎(2)中性子増倍率と転換、増殖 (03-06-04-02)

<概要>
 原子炉物理において重要な役割をはたす増倍率を定量的に評価する方法について述べる。すなわち、無限増倍率熱中性子利用率、高速中性子核分裂係数等の数値を説明するとともに、4因子公式と6因子公式による増倍率の評価法を概説する。また、臨界量、転換と増殖についても基本的事項を述べる。
<更新年月>
2006年02月   (本データは原則として更新対象外とします。)

<本文>
 分裂によって生まれた中性子が再び核分裂を起こして次の中性子を生み出すまでを、世代という。世代間の中性子の数の比をkとして次のように定義する。
  k=(ある世代の中性子数)/(一つ前の世代の中性子数) ・・・(1)
kは増倍率(multiplication factor)と呼ばれる。k<1の状態を臨界未満(subcritical)、k=1の状態を臨界(critical)、k>1の状態を臨界超過(super-critical)という。
 増倍率kは次式で表される。
  k=νPaF・Pf・PNL ・・・(2)
ここで、ν:核分裂で発生する中性子の数、PaF:燃料に吸収される中性子の割合、Pf:核燃料物質に吸収された中性子が核分裂を起こす割合、PNL:体系内に吸収される中性子の割合。
1.4因子公式と6因子公式
1.1 無限増倍率
 上述したkを定量的に表すことを考える。無限に大きい体系とすると、中性子が体系から洩れることはないから、PNL=1、したがって
  k=νPaFPf  ・・・(3)
この場合のkを無限増倍率(infinite multiplication factor)といいkと書く。このkは原子炉の大きさ、形状に無関係で、原子炉の構成材料の性質のみによる量なので、原子炉解析で特に有用なパラメータである(ただし、炉の大きさ、形状が変わると中性子スペクトルに変化を生じるので、厳密にはkにも変化があり得る)。なお、有限の体系においてはPNL<1なので、k>1でなくては原子炉が臨界となることはない。
1.2 熱中性子利用率
 まず、PaFについて考える。燃料のマクロ吸収断面積をΣaF、燃料を含む体系の全ての物質のマクロ吸収断面積の和をΣaと表すと、PaFは両者の比、すなわち
  PaF=ΣaF/Σa ・・・(4)
ここでΣaのように上添字(上の例ではF)がない場合は、その断面積が体系内の全ての物質の和を表す(体系が非均質の場合には、マクロ断面積を適当に空間平均して求めることが必要である)。
 原子炉が開発され始めた当初は、ほとんどの核分裂は熱中性子によって引き起こされると考えていたので、原子炉物理ではこの量を熱中性子利用率(thermal utilization factor)と呼び、fという記号を用いている。
  f=PaF ・・・(5)
しかし、(1)式の表現は、高速炉のように、核分裂が熱中性子以外で起こる原子炉に対しても成り立つ一般的な表現である。
1.3 η(イータ)
 次にPfについて考える。この量は中性子が核燃料に吸収されたときに核分裂を起こす割合であるから
  Pf=(Σf F/ΣaF)=(σf F/σaF) ・・・(6)
 核分裂に際して平均ν個の中性子が放出されるので、核燃料により中性子が再生される割合を記号ηを用いて次のように定義する。
  η=(νσf F)/σaF=νPf ・・・(7)
ηは再生率(reproduction factor)と呼ばれる場合がある。
1.4 高速中性子核分裂係数(ε)
 上の議論から無限増倍率は
  k=η・f  ・・・(8)
低濃縮ウランを用いる軽水減速炉や天然ウランを用いる黒鉛減速炉、重水炉などでは、この公式に2つの修正を加えなくてはならない。まず、平均2MeVというエネルギーを持つ核分裂中性子によって238Uなどの核が核分裂を起こすことを考慮する必要がある。この核分裂は、その世代の中性子数(減速を始める前の中性子の数)を少し増す。この効果を表す量を高速中性子核分裂係数(fast fission factor)と呼び、次のように定義する。
  ε=(高速および熱中性子核分裂による全核分裂中性子数)/(熱中性子核分裂による核分裂中性子数) ・・・(9)
この量は1に近く、ほとんどの場合ε=1.02から1.08の間にある。
1.5 共鳴を逃れる確率
 次に核分裂中性子が生まれたエネルギーから熱中性子エネルギーにまで減速する間に吸収されることを考慮しなくてはならない。この吸収は主に238Uのような重い核種による共鳴吸収によって引き起こされるので、共鳴吸収を受けずに減速される割合を共鳴を逃れる確率(resonance escape probability)といい、pで表す。すなわち
  p=(減速を始めた中性子のうち捕獲されずに熱中性子領域まで減速される割合) ・・・10)
と定義される。この量は燃料と減速材の割合に大きく依存するとともに、非均質の体系の場合には、その形状、配列に依存する。軽水減速炉の場合には、0.6〜0.8の程度である。
 天然ウラン黒鉛炉の場合、もし燃料と減速材が均質に混合されているとη=1.34、ε=1.02の程度である。またpとfの積は最大でも0.63の程度で、kは高々0.85の程度にしかならず、原子炉を臨界とすることができない。しかし、天然ウランを塊状にして黒鉛のなかにうまく配置することにより、pとfの積を0.79程度にすることができ(εも1.03程度となる)、kの最大値を1.09程度にして原子炉を臨界とすることが可能となる。
 上に定義された4つの因子を用いると無限増倍率k
  k=ε・p・η・f ・・・(11)
と書ける。この無限増倍率を表す式を4因子公式と呼ぶ。したがって無限増倍率kを求めるためには、それを構成する4つの因子をそれぞれ計算すればよいこととなる。
1.6 6因子公式
 有限体系においては中性子が体系から洩れない確率PNLを考慮しなくてはならない。この量は原子炉の形状にも依存するが、高速(減速中の)中性子と熱中性子とでは洩れの割合が一般に著しく異なるので、PNLを高速中性子が洩れない確率PFNLと、熱中性子が洩れない確率PTNLの2つに分ける。すると
  k=ε・p・η・f・PFNL・PTNL=k・PFNL・PTNL ・・・(12)
という6つの因子で表されることとなる。この式を6因子公式(6 factor formula)という。この場合のkを実効増倍率(effective multiplication factor)という。PFNLとPTNLに対する式は、2群拡散理論によると
  PFNL=1/(1+LF2・B2) ・・・(13-1)
  PTNL=1/(1+LT2B2) ・・・(13-2)
で与えられる。ここでLF2は高速中性子に対する拡散面積、LT2は熱中性子に対する拡散面積と呼ばれる量である。またB2は幾何学的バックリング(geometrical buckling)と呼ばれ、原子炉の形状と大きさによって決まる量である。半径Rの球、一辺の長さがa、b、cの直方体、半径がRで高さがHの体系に対する幾何学的バックリングを表1に示す。
 もともとこの式は炉心のみから成る、裸の原子炉と云われるものに対する式で、実際の原子炉では炉心の周囲に反射体があるため、この式をそのまま実効増倍率の計算に用いることはできないが、反射体の効果を実効的に炉心が大きくなったと考えて補正を行えば、このように簡単な式でも、近似的に実効増倍率を、電子計算機を用いた、より厳密な計算を行なう前に計算して、おおよその値を得ることができる。
1.7 臨界量
 式(12)を(13-1)、(13-2)を用いて書き直せば、実効増倍率kは
  k=k/[(1+LF2B2)(1+LT2B2)] ・・・(14)
となる。原子炉が臨界状態にある場合k=1なので、
  [k/{(1+LF2B2)(1+LT2B2)}=1 ・・・(15)
である。これを2群理論の臨界方程式という。k、LF2、LT2が与えられれば、この式を解いてB2を定めることができる。B2は原子炉の形状に応じて表1で与えられるから、これにより原子炉がちょうど臨界となる寸法を定めることができる。臨界となるときの原子炉の体積を臨界体積、その際、体系中にある燃料の量を臨界量(または臨界質量critical mass)という。式(15)から求められるのは表1に幾何学的バックリングが与えられている場合に対するものであるが、一般に体系の代表的な寸法たとえば球の半径をRとすると、中性子の洩れは表面積R2に比例し、一方中性子の発生は体積R3に比例するから、洩れの割合/発生の割合という比は1/Rに比例すると考えられる。したがってk>1であれば、どんな場合にもRを増減させることによってk=1という状態を実現する原子炉の寸法を定めることができる。なお、一定の体積に対し、表面積が最小になるのは球の場合であるから、球形の炉心に対する臨界量が最小の臨界量となる。
2.転換と増殖
 天然にある原子核のうち遅い中性子に対し核分裂を起こすのは天然ウランに約0.7%しか含まれていない235Uのみである。しかし、これまで見てきたように、1個の中性子が燃料に吸収されるとη個の中性子を生ずる。臨界状態において、そのうちの1個は次の核分裂を起こすのに必要であるから、残りのη-1個の中性子を238Uや232Thのような親物質に吸収させて、熱中性子に対して核分裂を起こす239Puや233Uを作れば、利用できる核燃料の量を飛躍的に増大させることができる。これを転換(conversion)という、現実に238Uを含む原子炉では多かれ少なかれこの反応が起こっている。
 さらにη-1が1より大きいとき、熱核分裂性核種が1個消費されるのに対し、1個以上の熱核分裂性核種が作られることになるので、消費した熱核分裂物質核種以上の熱核分裂性核種を作ることが可能となる。これを増殖(breeding)といい、これを実現して利用可能な核燃料の量を高めることを目的とする原子炉(増殖炉)の研究が進められている。
 図1233U、235U、239Pu、241Puに対するηのエネルギー変化を示す。この図から分かるように、熱中性子に対するηは235Uや239Puに対しては2を僅かに超える程度であり、さらにその上のエネルギー領域でηが2を大きく切る領域があるので、中性子の洩れや構造材、冷却材等による吸収を考えると、増殖をさせることは難しい。
 しかし、中性子エネルギーが100keVを超えると、ηはエネルギーとともに急激に増加するのでη>2の状態を実現できる可能性がある。特に239Puに対しては期待が持てる。増殖を実現するためには中性子のエネルギーをできるだけ高く保つことが有効な手段である。この方法により、η>2を実現することを狙った原子炉が高速増殖炉(fast breeder reactor)である。高速増殖炉では中性子エネルギーを100keV以上に保つために、中性子を減速させる物質を用いることができない。そのため、冷却材として液体金属(ナトリウムが主流)が用いられることとなる。このナトリウムの使用の他、高いエネルギー領域では、核分裂断面積が小さくなること、238Uの非弾性散乱による減速の効果を小さくすることのために、濃縮度の高い燃料を使う必要があり、その結果経済性の面から、原子炉の単位体積あたりの出力を高くすることが要求されるなど、高速炉の開発には熱中性子炉にはない技術的困難がある。また、原子炉物理の面でも、上述した議論を直接適用できない。通常、高速炉の解析は数値計算に頼ることとなる。
 なお、233Uに対しては熱中性子に対しη=2.29であり、その上のエネルギー領域でもηが2よりあまり小さくなることがないので熱中性子炉で増殖を実現させる可能性があるが、そのためには、例えば吸収断面積の大きい核分裂生成物を連続的に炉から取り除く工夫をする必要があること等の技術的困難がある。
<図/表>
表1 原子炉の形状とバックリングの関係
図1 ηの中性子エネルギーに対する変化

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<関連タイトル>
原子核と核反応 (03-06-01-03)
原子炉の炉心核設計概論 (03-06-01-04)
原子炉物理の基礎(1)原子炉の構造と核分裂連鎖反応 (03-06-04-01)
原子炉物理の基礎(3)中性子のふるまいと拡散方程式の導出 (03-06-04-03)

<参考文献>
(1)平川直弘:原子炉物理入門、東北大学出版会(2003年12月)
(2)W.マーシャル(編)、住田健二(監訳):原子炉技術の発展[上]、(株)筑摩書房(1986年9月30日)
(3)W.マーシャル(編)、住田健二(監訳):原子炉技術の発展[下]、(株)筑摩書房(1986年10月30日)
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